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統計学 – ベルヌーイ分布

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目次
  1. 概要
  2. 確率関数
    1. 確率関数である
    2. 解釈
  3. 累積確率関数
  4. kkk 次の積率
  5. 期待値
  6. 分散
  7. 標準偏差
  8. 積率母関数
  9. scipy.stats のベルヌーイ分布
    1. サンプリング
    2. 確率質量関数
    3. 累積分布関数
    4. 統計量

概要

離散確率分布の1つであるベルヌーイ分布について解説します。

確率関数

確率変数 XX が次のような確率関数をもつとき、XX はパラメータ p,(0≤p≤1)p, (0 \le p \le 1) のベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) に従うという。

fX(x)={px(1–p)1–xx=0,10その他の場合 f_X(x) = \begin{cases} p^x (1 – p)^{1 – x} & x = 0, 1 \\ 0 & その他の場合 \end{cases}

確率関数である

fX(x)={1–px=0px=10その他の場合 f_X(x) = \begin{cases} 1 – p & x = 0 \\ p & x = 1 \\ 0 & その他の場合 \end{cases}

より、fX(x)∈[0,1],∑xfX(x)=1f_X(x) \in [0, 1], \sum_x f_X(x) = 1 は明らか。

解釈

事象 AA が起こる確率を pp とする。 事象 AA が起こった場合に1、起こらなかった場合に0をとる確率変数 XX をとると、XX はパラメータ pp のベルヌーイ分布に従う。

累積確率関数

P(X≤x)=∑k=0⌊x⌋pk(1–p)1–k={0x<01–p0≤x≤11x>1 \begin{aligned} P(X \le x) &= \sum_{k = 0}^{\lfloor x \rfloor} p^k (1 – p)^{1 – k} \\ &= \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 – p & 0 \le x \le 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases} \end{aligned}

kk 次の積率

E(Xk)=∑x=0,1xkpx(1–p)1–x=0kp0(1–p)1–0+1kp1(1–p)1–1=p \begin{aligned} E(X^k) &= \sum_{x = 0, 1} x^k p^x (1 – p)^{1 – x} \\ &= 0^k p^0 (1 – p)^{1 – 0} + 1^k p^1 (1 – p)^{1 – 1} \\ &= p \end{aligned}

期待値

E[X]=p E[X] = p

分散

Var[X]=E[X2]–(E[X])2=p–p2=p(1–p) Var[X] = E[X^2] – (E[X])^2 = p – p^2 = p (1 – p)

標準偏差

Std[X]=Var[X]=p(1–p) Std[X] = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{p (1 – p)}

積率母関数

mX(t)=E[eXt]=∑x=0,1extpx(1–p)1–x=e0⋅tp0(1–p)1–0+e1⋅tp1(1–p)1–1=1–p+pet \begin{aligned} m_X(t) &= E[e^{Xt}] \\ &= \sum_{x = 0, 1} e^{xt} p^x (1 – p)^{1 – x} \\ &= e^{0 \cdot t} p^0 (1 – p)^{1 – 0} + e^{1 \cdot t} p^1 (1 – p)^{1 – 1} \\ &= 1 – p + p e^t \end{aligned}

scipy.stats のベルヌーイ分布

scipy.stats.bernoulli でベルヌーイ分布に従う確率変数を作成できます。

In [1]: 
import numpy as np
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import bernoulli

sns.set(style="white")

X = bernoulli(p=0.3)
Python

サンプリング

In [2]: 
x = X.rvs(size=5)
print(x)
Python
[1 1 1 0 0]

確率質量関数

In [3]: 
x = [0, 1]
y = X.pmf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.stem(x, y, use_line_collection=True)
ax.set_xlim(-0.1, 1.1)
ax.set_ylim(-0.1, 1.1)
ax.grid()

plt.show()
Python

累積分布関数

In [4]: 
x = np.linspace(-0.1, 1.1, 100)
y = X.cdf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.step(x, y)
ax.set_xlim(-0.1, 1.1)
ax.set_ylim(-0.1, 1.1)
ax.grid()

plt.show()
Python

統計量

In [5]: 
print("mean", X.mean())
print("var", X.var())
print("std", X.std())
Python
mean 0.3
var 0.21
std 0.458257569495584
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  1. 概要
  2. 確率関数
    1. 確率関数である
    2. 解釈
  3. 累積確率関数
  4. kkk 次の積率
  5. 期待値
  6. 分散
  7. 標準偏差
  8. 積率母関数
  9. scipy.stats のベルヌーイ分布
    1. サンプリング
    2. 確率質量関数
    3. 累積分布関数
    4. 統計量