統計学 – カイ二乗分布

概要

連続確率分布の1つであるカイ二乗分布について解説します。

確率関数

確率変数 $X$ が次の確率密度関数をもつとき、$X$ は自由度 (degrees of freedom) $n$ の(中心)カイ二乗分布 (chi squared distribution) または $\chi^2$ 分布に従うという。

確率変数 $X$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うとき、$X \sim \chi_n^2$ と表す。

ただし、$\Gamma(\cdot)$ はガンマ関数、$n \in \N$ は正の整数とする。

確率密度関数の要件を満たしている

(1) $f_X(x) \ge 0$ は明らか

(2) 規格化

ガンマ分布との関係

自由度 $n$ のカイ二乗分布はパラメータ $\alpha = \frac{n}{2} \beta = \frac{1}{2}$ としたときのガンマ分布である。

指数分布との関係

自由度2のカイ二乗分布は $\alpha = 1 \beta = \frac{1}{2}$ としたときの指数分布であるから、パラメータ $\beta = \frac{1}{2}$ の指数分布である。

k 次積率

ガンマ分布の $k$ 次積率に $\alpha = \frac{n}{2} \beta = \frac{1}{2}$ と代入すると、

期待値

パラメータ $\alpha, \beta$ のガンマ分布の期待値に $\alpha = \frac{n}{2} \beta = \frac{1}{2}$ と代入すると、

分散

パラメータ $\alpha, \beta$ のガンマ分布の分散に $\alpha = \frac{n}{2} \beta = \frac{1}{2}$ と代入すると、

標準偏差

積率母関数

パラメータ $\alpha, \beta$ のガンマ分布の積率母関数は $t < \beta$ で定義されるので、$t < \frac{1}{2}$ としたとき、 $\alpha = \frac{n}{2} \beta = \frac{1}{2}$ と代入すると、

再生性

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ が独立でそれぞれ自由度 $k_i$ のカイ二乗分布に従うとき、 $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ は自由度 $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ のカイ二乗分布に従う。

証明:

$X_i$ の積率母関数を $m_{X_i}(t)$ とすると、

これは自由度 $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ のカイ二乗分布の積率母関数と一致する。 積率母関数の一意性より、題意は示された。

標準正規分布との関係

$Z$ が標準正規分布に従うとき、$Y = Z^2$ は自由度1のカイ二乗分布に従う。

証明:

ここで、

は、平均 $\mu = 0$、分散 $\sigma^2 = \frac{1}{\sqrt{1 – 2t}}$ としたときの正規分布の全実数についての積分なので、1となる。

よって、

これは自由度 $1$ のカイ二乗分布の積率母関数と一致する。 積率母関数の一意性より、題意は示された。

標準正規分布との関係

$Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ が独立でそれぞれ標準正規分布に従うとき、 $Y = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

証明:

$Z^2$ は自由度1のカイ二乗分布に従うので、カイ二乗分布の再生性より、 $Y$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

正規分布との関係

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ が独立でそれぞれ平均 $\mu_i$、分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとき、 $Y = \sum_{i = 1}^n \left(\frac{X_i – \mu_i}{\sigma_i}\right)^2$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

証明:

$Z_i = \frac{X_i – \mu_i}{\sigma_i}$ とすると、$Z_i$ は標準正規分布に従うので、$Y$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う。

scipy.stats のカイ二乗分布

scipy.stats.chi2 でカイ二乗分布に従う確率変数を作成できます。

import numpy as np
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

sns.set(style="white")

X = chi2(10)

サンプリング

x = X.rvs(size=5)
print(x)

[14.21866758 17.01161969  9.51196718 13.50533751 14.14309324]

確率密度関数

In [3]:

x = np.linspace(0, 30, 100)
y = X.pdf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.grid()

plt.show()

累積分布関数

In [4]:

x = np.linspace(0, 30, 100)
y = X.cdf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.grid()

plt.show()

統計量

print("mean", X.mean())
print("var", X.var())
print("std", X.std())

mean 10.0
var 20.0
std 4.47213595499958