概要
連続確率分布の1つである離散一様分布について解説します。
確率関数
確率変数 X が次のような確率関数をもつとき、X は区間 [a,b] の離散一様分布 (discrete uniform distribution) に従うという。
fX(x)={n10x=a,a+1,⋯,bその他の場合ただし、n=b–a+1 とする。
累積確率関数
x<a の場合、fX(x)=0 なので、
P(X≤x)=0a≤x≤b の場合、
P(X≤x)=k=a∑⌊x⌋n1=n⌊x⌋–a+1x>b の場合、fX(x)=0 なので、
P(X≤x)=k=a∑bn1=nb–a+1=1よって、
P(X≤x)=⎩⎨⎧0n⌊x⌋–a+11x<aa≤x≤bx>b
確率関数である
k=a∑bn1=nb–a+1=1
期待値
E[X]=x=a∑bxn1=n121n(a+b)∵等差数列の和の公式=2a+b
分散
E[X2]=x=a∑bx2n1=n161(b–a+1)(2a2+2ab−a+2b2+b)∵二乗和の公式=61(2a2+2ab–a+2b2+b)∵n=b–a+1∑x=abx2 – Wolfram|Alpha
Var[X]=E[X2]–(E[X])2=61(2a2+2ab−a+2b2+b)–4(a+b)2=12a2+b2−2ab−2a+2b=12(b–a+1)2–1=12n2–1
標準偏差
Std[X]=Var[X]=22n2–1
積率母関数
mX(t)=E[etX]=n1x=a∑betxdx=n(et–1)e(b+1)t–eat∑x=abetx – Wolfram|Alpha
scipy.stats の離散一様分布
scipy.stats.randint で離散一様分布に従う確率変数を作成できます。
サンプリング
確率質量関数
累積分布関数
統計量
mean 5.0
var 6.666666666666667
std 2.581988897471611
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