概要
連続確率分布の1つである指数分布 について解説します。
確率関数
確率変数 X X X が次の確率密度関数をもつとき、X X X はパラメータ β \beta β の指数分布 (exponential distribution) に従うという。
f X ( x ) = { β e − β x x > 0 0 その他の場合
f_X(x) =
\begin{cases}
\beta e^{- \beta x} & x > 0 \\
0 & その他の場合
\end{cases}
f X ( x ) = { β e − β x 0 x > 0 その他の場合 ただし、Γ ( ⋅ ) \Gamma(\cdot) Γ ( ⋅ ) はガンマ関数、β > 0 \beta > 0 β > 0 とする。
確率密度関数である
(!) 非負性
β > 0 \beta > 0 β > 0 であるから、f X ( x ) ≥ 0 f_X(x) \ge 0 f X ( x ) ≥ 0
(2) 規格化
∫ 0 ∞ β e − β x d x = β [ − e − β x β ] 0 ∞ = − [ e − β x ] 0 ∞ = 1
\begin{aligned}
\int_0^\infty \beta e^{- \beta x} dx
&= \beta \left[-\frac{e^{-\beta x}}{\beta}\right]_0^\infty \\
&= -\left[e^{-\beta x}\right]_0^\infty \\
&= 1
\end{aligned}
∫ 0 ∞ β e − β x d x = β [ − β e − β x ] 0 ∞ = − [ e − β x ] 0 ∞ = 1
ガンマ分布との関係
指数分布はパラメータ α = 1 , β \alpha = 1, \beta α = 1 , β としたときのガンマ分布である。
分布関数
x ≤ 0 x \le 0 x ≤ 0 のとき、f X ( x ) = 0 f_X(x) = 0 f X ( x ) = 0 なので、F X ( x ) = 0 F_X(x) = 0 F X ( x ) = 0
x > 0 x > 0 x > 0 のとき、
∫ 0 x β e − β t d t = β [ − e − β t β ] 0 x = − [ e − β t ] 0 x = 1 – e − β x
\begin{aligned}
\int_0^x \beta e^{- \beta t} dt
&= \beta \left[-\frac{e^{-\beta t}}{\beta}\right]_0^x \\
&= -\left[e^{-\beta t} \ \right]_0^x \\
&= 1 – e^{-\beta x}
\end{aligned}
∫ 0 x β e − βt d t = β [ − β e − βt ] 0 x = − [ e − βt ] 0 x = 1– e − β x よって、
F X ( x ) = { 1 – e − β x x > 0 0 その他の場合
F_X(x) =
\begin{cases}
1 – e^{-\beta x} & x > 0 \\
0 & その他の場合
\end{cases}
F X ( x ) = { 1– e − β x 0 x > 0 その他の場合
期待値
E [ X ] = ∫ 0 ∞ x β e − β x d x = [ − x e − β x ] 0 ∞ – ∫ 0 ∞ − e − β x d x ∵ 部分積分 = ∫ 0 ∞ e − β x d x = [ − 1 β e − β x ] 0 ∞ = 1 β
\begin{aligned}
E[X]
&= \int_0^\infty x \beta e^{- \beta x} dx \\
&= \left[-x e^{-\beta x}\right]_0^\infty
– \int_0^\infty -e^{-\beta x} dx
\quad \because 部分積分 \\
&= \int_0^\infty e^{-\beta x} dx \\
&= \left[-\frac{1}{\beta} e^{-\beta x}\right]_0^\infty \\
&= \frac{1}{\beta}
\end{aligned}
E [ X ] = ∫ 0 ∞ x β e − β x d x = [ − x e − β x ] 0 ∞ – ∫ 0 ∞ − e − β x d x ∵ 部分積分 = ∫ 0 ∞ e − β x d x = [ − β 1 e − β x ] 0 ∞ = β 1
分散
E ( X ) = ∫ 0 ∞ x 2 β e − β x d x = [ − x 2 e − β x ] 0 ∞ – 2 x ∫ 0 ∞ − e − β x d x ∵ 部分積分 = ∫ 0 ∞ 2 x e − β x d x ∵ 第 1 項は lim x → ∞ x 2 e β x = 0 = 2 β ∫ 0 ∞ x β e − β x d x = 2 β 2 ∵ 第 2 項は E [ X ]
\begin{aligned}
E(X)
&= \int_0^\infty x^2 \beta e^{- \beta x} dx \\
&= \left[-x^2 e^{-\beta x}\right]_0^\infty
– 2x \int_0^\infty -e^{-\beta x} dx
\quad \because 部分積分 \\
&= \int_0^\infty 2x e^{-\beta x} dx
\quad \because 第1項は \lim_{x \to \infty} \ \ \frac{x^2}{e^{\beta x}} = 0 \\
&= \frac{2}{\beta} \int_0^\infty x \beta e^{-\beta x} dx \\
&= \frac{2}{\beta^2} \quad \because 第2項は E[X]
\end{aligned}
E ( X ) = ∫ 0 ∞ x 2 β e − β x d x = [ − x 2 e − β x ] 0 ∞ –2 x ∫ 0 ∞ − e − β x d x ∵ 部分積分 = ∫ 0 ∞ 2 x e − β x d x ∵ 第 1 項は x → ∞ lim e β x x 2 = 0 = β 2 ∫ 0 ∞ x β e − β x d x = β 2 2 ∵ 第 2 項は E [ X ] なので、
V a r [ X ] = E [ X 2 ] – ( E [ X ] ) 2 = 2 β 2 – ( 1 β ) 2 = 1 β 2
\begin{aligned}
Var[X]
&= E[X^2] – (E[X])^2 \\
&= \frac{2}{\beta^2}
– \left(\frac{1}{\beta}\right)^2 \\
&= \frac{1}{\beta^2}
\end{aligned}
Va r [ X ] = E [ X 2 ] – ( E [ X ] ) 2 = β 2 2 – ( β 1 ) 2 = β 2 1
標準偏差
S t d [ X ] = V a r [ X ] = 1 β 2 = 1 β ∵ β > 0
\begin{aligned}
Std[X]
&= \sqrt{Var[X]} \\
&= \sqrt{\frac{1}{\beta^2}} \\
&= \frac{1}{\beta} \quad \because \beta > 0
\end{aligned}
St d [ X ] = Va r [ X ] = β 2 1 = β 1 ∵ β > 0
積率母関数
m X ( t ) = E [ e t X ] = ∫ 0 ∞ e t x β e − β x d x = ∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x
\begin{aligned}
m_X(t)
&= E[e^{tX}] \\
&= \int_0^\infty e^{tx} \beta e^{- \beta x} dx \\
&= \int_0^\infty \beta e^{- (\beta – t) x} dx
\end{aligned}
m X ( t ) = E [ e tX ] = ∫ 0 ∞ e t x β e − β x d x = ∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x t < β t < \beta t < β の場合、− ( β – t ) < 0 -(\beta – t) < 0 − ( β – t ) < 0 なので、
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = [ − β β – t e − ( β – t ) x ] 0 ∞ = β β – t
\begin{aligned}
\int_0^\infty \beta e^{- (\beta – t) x} \quad dx
&= \left[-\frac{\beta}{\beta – t} e^{- (\beta – t) x} \quad \right]_0^\infty \\
&= \frac{\beta}{\beta – t}
\end{aligned}
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = [ − β – t β e − ( β – t ) x ] 0 ∞ = β – t β t = β t = \beta t = β の場合、
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = β ∫ 0 ∞ d x
\begin{aligned}
\int_0^\infty \beta e^{- (\beta – t) x} dx
&= \beta \int_0^\infty dx \\
\end{aligned}
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = β ∫ 0 ∞ d x となり、発散する。
t > β t > \beta t > β の場合、− ( β – t ) > 0 -(\beta – t) > 0 − ( β – t ) > 0 なので、
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = [ − β β – t e − ( β – t ) x ] 0 ∞
\begin{aligned}
\int_0^\infty \beta e^{- (\beta – t) x} \quad dx
&= \left[-\frac{\beta}{\beta – t} e^{- (\beta – t) x} \quad \right]_0^\infty
\end{aligned}
∫ 0 ∞ β e − ( β – t ) x d x = [ − β – t β e − ( β – t ) x ] 0 ∞ は発散する。
したがって、積率母関数は t < β t < \beta t < β のとき
m X ( t ) = { β β – t t < β 定義されない その他の場合
m_X(t) =
\begin{cases}
\frac{\beta}{\beta – t} & t < \beta\\
定義されない & その他の場合
\end{cases}
m X ( t ) = { β – t β 定義されない t < β その他の場合
再生性
X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n が独立で同一なパラメータ β \beta β の指数分布に従うとき、
S = X 1 + X 2 + ⋯ + X n S = X_1 + X_2 + \cdots + X_n S = X 1 + X 2 + ⋯ + X n はパラメータ n , β n, \beta n , β のアーラン分布に従う。
証明:
X i X_i X i の積率母関数を m X i ( t ) m_{X_i}(t) m X i ( t ) とすると、
m S ( t ) = ∏ i = 1 n m X i ( t ) = ( β β – t ) n
m_S(t) = \prod_{i = 1}^n m_{X_i}(t) = \left(\frac{\beta}{\beta – t}\right)^n
m S ( t ) = i = 1 ∏ n m X i ( t ) = ( β – t β ) n これはパラメータ n , β n, \beta n , β のアーラン分布の積率母関数と一致する。
積率母関数の一意性より、題意は示された。
scipy.stats の指数分布
scipy.stats.expon で指数分布に従う確率変数を作成できます。
サンプリング
[0.43342208 0.57263643 0.537089 0.99356528 2.09360259]
確率質量関数
累積分布関数
統計量
mean 0.5
var 0.25
std 0.5
コメント