統計学 – F 分布

概要

連続確率分布の1つであるF分布について解説します。

F 分布

確率変数 $X$ が自由度 $m$ のカイ二乗分布に従い、環境変数 $Y$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うとし、$X, Y$ は独立であるとする。このとき、

$$ W = \frac{X / m}{Y / n} $$

は自由度 $m, n$ の F 分布 (F distribution) に従うという。 確率変数 $W$ が自由度 $m, n$ の F 分布に従うとき、$W \sim F_{m,n}$ と表す。

確率関数

確率変数 $X$ が F 分布に従う確率変数のとき、確率密度関数は

$$ f_X(w) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\Gamma(\frac{m + n}{2}) m^\frac{m}{2} n^\frac{n}{2}} {\Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \frac{w^{\frac{m}{2}} – 1}{(mw + n)^\frac{m + n}{2}} & w > 0 \\ 0 & その他の場合 \end{cases} $$

ただし、$\Gamma(\cdot)$ はガンマ関数、$m, n \in \N$ は正の整数とする。

確率密度関数の導出

$x > 0, y > 0$ のとき、カイ二乗分布の結合確率密度関数は

$$ \begin{aligned} f_{X, Y}(x, y) &= \frac{x^{\frac{m}{2} – 1} e^{- \frac{x}{2}}}{2^\frac{m}{2} \Gamma(\frac{m}{2})} \frac{y^{\frac{n}{2} – 1} e^{- \frac{y}{2}}}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \quad \because X, Y は独立 \\ &= \frac{x^{\frac{m}{2} – 1} y^{\frac{n}{2} – 1} \exp(- \frac{x + y}{2})}{2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \\ \end{aligned} $$

ここで、$W = \frac{X / m}{Y / n}, V = Y$ の変数変換をすると、

$$ \begin{cases} w = \frac{x/m}{y/n} \\ v = y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{m}{n} wv \\ y = v \end{cases} $$

また、$w > 0, v > 0$

ヤコビアンは

$$ \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{m}{n}v & \frac{m}{n}w \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = \frac{m}{n}v $$

よって、

$$ \begin{aligned} f_{W, V}(w, v) &= \frac{(\frac{m}{n} wv)^{\frac{m}{2} – 1} v^{\frac{n}{2} – 1} \exp(- \frac{\frac{m}{n} wv + v}{2})}{2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \frac{m}{n}v \\ &= \frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} w^{\frac{m}{2} – 1} v^{\frac{m + n}{2} – 1} \exp(- \frac{1}{2}(\frac{m}{n}w + 1)v) }{2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \\ \end{aligned} $$

$w$ の周辺確率密度関数は

$$ \begin{aligned} f_W(w) &= \int_0^\infty f_{W, V}(w, v) dv \\ &= \int_0^\infty \frac{ (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} w^{\frac{m}{2} – 1} v^{\frac{m + n}{2} – 1} \exp(- \frac{1}{2}(\frac{m}{n}w + 1)v) } { 2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) } dv \\ &= K \int_0^\infty v^{\frac{m + n}{2} – 1} \exp \left(- \frac{(mw + n)v}{2n}\right) dv \\ \end{aligned} $$

ただし、

$$ K = \frac{ (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} w^{\frac{m}{2} – 1} } { 2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) } $$

とおいた。

ここで、$t = \frac{(mw + n)v}{2n}$ とおくと、$v = \frac{2n}{mw + n} t$、$dv = \frac{2n}{mw + n} dt$ より、

$$ \begin{aligned} & \int_0^\infty \left( \frac{2n}{mw + n} t \right)^{\frac{m + n}{2} – 1} e^{-t} \frac{2n}{mw + n} dt \\ &= \left( \frac{2n}{mw + n} \right)^{\frac{m + n}{2}} \int_0^\infty t^{\frac{m + n}{2} – 1} e^{-t} dt \\ &= \left( \frac{2n}{mw + n} \right)^{\frac{m + n}{2}} \Gamma\left( \frac{m + n}{2} \right) \quad \because ガンマ関数の定義 \end{aligned} $$

以上より、

$$ \begin{aligned} f_W(w) &= \frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} w^{\frac{m}{2} – 1}} {2^\frac{m + n}{2} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \left( \frac{2n}{mw + n} \right)^{\frac{m + n}{2}} \Gamma\left( \frac{m + n}{2} \right) \\ &= \frac{\Gamma(\frac{m + n}{2}) m^\frac{m}{2} n^\frac{n}{2}} {\Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2})} \frac{w^{\frac{m}{2}} – 1}{(mw + n)^\frac{m + n}{2}} \end{aligned} $$

期待値

$$ \begin{aligned} E[W] &= E\left[\frac{X / m}{Y / n} \right] \\ &= \frac{n}{m} E\left[\frac{X}{Y} \right] \\ &= \frac{n}{m} E[X] E\left[\frac{1}{Y} \right] \quad \because X, Y は独立 \\ \end{aligned} $$

$n > 2$ において、

$$ \begin{aligned} E\left[\frac{1}{Y} \right] &= \int_0^\infty \frac{1}{y} f_Y(y) dy \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{y} \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} y^{\frac{n}{2} – 1} e^{- \frac{y}{2}} dy \\ &= \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty y^{\frac{n}{2} – 2} e^{- \frac{y}{2}} dy \\ &= \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty (2z)^{\frac{n}{2} – 2} e^{-z} 2 dz \quad \because z = \frac{y}{2} と置換積分 \\ &= \frac{1}{2\Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty z^{\frac{n – 2}{2} – 1} e^{-z} dz \\ &= \frac{1}{2\Gamma(\frac{n}{2})} \Gamma \left(\frac{n – 2}{2} \right) \quad \because ガンマ関数の定義 \\ &= \frac{1}{2 \left(\frac{n – 2}{2} \right) \Gamma \left(\frac{n – 2}{2} \right)} \Gamma \left(\frac{n – 2}{2} \right) \quad \because ガンマ関数の性質 \Gamma(a) = (a – 1) \Gamma(a – 1) \\ &= \frac{1}{n – 2} \\ \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} E[W] &= \frac{n}{m} E[X] E\left[\frac{1}{Y} \right] \\ &= \frac{n}{m} m \frac{1}{n – 2} \quad \because E[X] = m \\ &= \frac{n}{n – 2} \\ \end{aligned} $$

分散

$$ \begin{aligned} E[W^2] &= E\left[\frac{(X / m)^2}{(Y / n)^2} \right] \\ &= \frac{n^2}{m^2} E\left[\frac{X^2}{Y^2} \right] \\ &= \frac{n^2}{m^2} E[X^2] E\left[\frac{1}{Y^2} \right] \quad \because X, Y は独立 \\ \end{aligned} $$

$n > 4$ において、

$$ \begin{aligned} E\left[\frac{1}{Y^2} \right] &= \int_0^\infty \frac{1}{y^2} f_Y(y) dy \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{y^2} \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} y^{\frac{n}{2} – 1} e^{- \frac{y}{2}} dy \\ &= \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty y^{\frac{n}{2} – 3} e^{- \frac{y}{2}} dy \\ &= \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty (2z)^{\frac{n}{2} – 3} e^{-z} 2 dz \quad \because z = \frac{y}{2} と置換積分 \\ &= \frac{1}{4\Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty z^{\frac{n – 4}{2} – 1} e^{-z} dz \\ &= \frac{1}{4\Gamma(\frac{n}{2})} \Gamma \left(\frac{n – 4}{2} \right) \quad \because ガンマ関数の定義 \\ &= \frac{1}{4 \left(\frac{n – 2}{2} \right) \left(\frac{n – 4}{2} \right) \Gamma \left(\frac{n – 4}{2} \right)} \Gamma \left(\frac{n – 4}{2} \right) \quad \because ガンマ関数の性質 \Gamma(a) = (a – 1) \Gamma(a – 1) \\ &= \frac{1}{(n – 2)(n – 4)} \\ \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} E[W^2] &= \frac{n^2}{m^2} E[X^2] E\left[\frac{1}{Y^2} \right] \\ &= \frac{n^2}{m^2} (m^2 + 2m) \frac{1}{(n – 2)(n – 4)} \quad \because E[X^2] = m^2 + 2m \\ &= \frac{n^2(m + 2)}{m(n – 2)(n – 4)} \\ \end{aligned} $$

したがって、分散は

$$ \begin{aligned} Var[W] &= E[W^2] – (E[W])^2 \\ &= \frac{n^2(m + 2)}{m(n – 2)(n – 4)} – \left( \frac{n}{n – 2}\right)^2 \\ &= \frac{n^2((m + 2)(n – 2) – m (n – 4))}{m(n – 2)^2(n – 4)} \\ &= \frac{2 n^2(m + n – 2)}{m(n – 2)^2(n – 4)} \\ \end{aligned} $$

標準偏差

$$ \begin{aligned} Std[X] &= \sqrt{Var[X]} \\ &= \sqrt{\frac{2 n^2(m + n – 2)}{m(n – 2)^2(n – 4)}} \\ &= \frac{n}{n – 2} \sqrt{\frac{2 (m + n – 2)}{m(n – 4)}} \quad \because n > 4 \end{aligned} $$

scipy.stats のカイ二乗分布

scipy.stats.chi2 でカイ二乗分布に従う確率変数を作成できます。

サンプリング

確率密度関数

累積分布関数

統計量