概要
離散確率分布の1つである負の二項分布について解説します。
確率関数
確率変数 X が次のような確率関数をもつとき、X はパラメータ r,p の負の二項分布 (negative binominal distribution) に従うという。
fX(x)={(xx+r–1)pr(1–p)x0x=0,1,⋯その他の場合ただし、r は正の整数、0<p<1
確率関数である
x=0∑∞(xx+r–1)pr(1–p)x=prx=0∑∞(x−r)(p–1)x∵(xx+r–1)=(x−r)(−1)x=prp−r∵∣p–1∣<1より、二項展開=1また、fX(x)≥0 は明らか。
解釈
結果が成功か失敗かのいずれかである試行をベルヌーイ試行 (Bernoulli trial) という。
r 回失敗するまでベルヌーイ試行を続けた場合の成功回数の分布はパラメータ r,p の負の二項分布に従う。
累積確率関数
P(X≤x)=k=0∑⌊x⌋(xx+r–1)pr(1–p)x
aludaatAMS9-12-2018.pdf
期待値
E[X]=x=0∑∞x(xx+r–1)pr(1–p)x=x=0∑∞x(r–1)!x!(x+r–1)!pr(1–p)x=x=1∑∞x(r–1)!x!(x+r–1)!pr(1–p)x∵第0項は0=x=1∑∞(r–1)!(x–1)!(x+r–1)!pr(1–p)xここで、x’=x–1,r’=r+1 とおくと、
E[X]=x’=0∑∞(r’–2)!x’!(x’+r’–1)!pr’–1(1–p)x’+1=p1–p(r’–1)x’=0∑∞(r’–1)!x’!(x’+r’–1)!pr’(1–p)x’=p1–p(r’–1)∵パラメータr’,pの負の二項分布の総和は1=p1–pr∵r’=r+1
分散
E[X(X–1)]=x=0∑∞x(x–1)(xx+r–1)pr(1–p)x=x=0∑∞x(x–1)(r–1)!x!(x+r–1)!pr(1–p)x=x=1∑∞x(x–1)(r–1)!x!(x+r–1)!pr(1–p)x∵第0項は0=x=1∑∞(r–1)!(x–2)!(x+r–1)!pr(1–p)xここで、x’=x–2,r’=r+2 とおくと、
E[X(X–1)]=x’=0∑∞(r’–3)!x’!(x’+r’–1)!pr’–2(1–p)x’+2=p2(1–p)2(r’–1)(r’–2)x’=0∑∞(r’–1)!x’!(x’+r’–1)!pr’(1–p)x’=p2(1–p)2(r’–1)(r’–2)∵パラメータr’,pの負の二項分布の総和は1=p2(1–p)2r(r+1)∵r’=r+2よって、分散は
Var[X]=E[X2]–[E(X)]2=E[X(X–1)]+E[X]–[E(X)]2=p2(1–p)2r(r+1)+p1–pr–(p1–pr)2=p21–p
積率母関数
mX(t)=E[etX]=x=0∑∞etx(xx+r–1)pr(1–p)x=x=0∑∞etx(x−r)(−1)xpr(1–p)x∵(xx+r–1)=(x−r)(−1)x=x=0∑∞(x−r)pr[−et(1–p)]x∣−et(1–p)∣<1、つまり、0<et(1–p)<1 のとき、二項展開より、
x=0∑∞(x−r)pr[−et(1–p)]x=pr(1–(1–p)et)−r=(1–(1–p)etp)r
再生性
X1,X2,⋯,Xn が独立でそれぞれパラメータ ri,p の負の二項分布に従うとき、
S=X1+X2+⋯+Xn はパラメータ r1+r2+⋯+rn,p の負の二項分布に従う。
証明:
Xi の積率母関数を mXi(t) とすると、
mS(t)=i=1∏nmXi(t)=i=1∏n(1–(1–p)etp)nri=(1–(1–p)etp)n∑i=1nriこれはパラメータ r1+r2+⋯+rn,p の負の二項分布の積率母関数と一致する。
積率母関数の一意性より、題意は示された。
scipy.stats の二項分布
scipy.stats.nbinom で二項分布に従う確率変数を作成できます。
サンプリング
確率質量関数
累積分布関数
統計量
mean 5.0
var 10.0
std 3.1622776601683795
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