概要
離散確率分布の1つであるポアソン分布 (poisson distribution) について解説します。
確率関数
確率変数 X X X X X X λ \lambda λ
f X ( x ) = { λ x e − λ x ! x = 0 , 1 , ⋯ 0 その他の場合
f_X(x) =
\begin{cases}
\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} & x = 0, 1, \cdots \\
0 & その他の場合
\end{cases}
f X ( x ) = { x ! λ x e − λ 0 x = 0 , 1 , ⋯ その他の場合 ただし、λ > 0 \lambda > 0 λ > 0
確率関数である
e λ e^\lambda e λ
e λ = ∑ x = 0 ∞ λ x x !
e^\lambda = \sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^x}{x!}
e λ = x = 0 ∑ ∞ x ! λ x よって、
∑ x = 0 ∞ λ x e − λ x ! = e − λ e λ = 1
\sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
= e^{-\lambda} e^\lambda = 1
x = 0 ∑ ∞ x ! λ x e − λ = e − λ e λ = 1 期待値
E [ X ] = ∑ x = 0 ∞ x λ x e − λ x ! = ∑ x = 1 ∞ x λ x e − λ x ! ∵ 第 0 項は 0 = λ ∑ x = 1 ∞ λ x – 1 e − λ ( x – 1 ) !
\begin{aligned}
E[X]
&= \sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \sum_{x = 1}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \quad \because 第0項は0 \\
&= \lambda \sum_{x = 1}^\infty \frac{\lambda^{x – 1} e^{-\lambda}}{(x – 1)!}
\end{aligned}
E [ X ] = x = 0 ∑ ∞ x x ! λ x e − λ = x = 1 ∑ ∞ x x ! λ x e − λ ∵ 第 0 項は 0 = λ x = 1 ∑ ∞ ( x –1 )! λ x –1 e − λ ここで、x ’ = x – 1 x’ = x – 1 x ’ = x –1
E [ X ] = λ ∑ x ’ = 0 ∞ λ x ’ e − λ x ’ ! = λ ∵ パラメータ λ のポアソン分布の総和は 1
\begin{aligned}
E[X]
&= \lambda \sum_{x’ = 0}^\infty \frac{\lambda^{x’} e^{-\lambda}}{x’!} \\
&= \lambda \quad \because パラメータ \lambda のポアソン分布の総和は1
\end{aligned}
E [ X ] = λ x ’ = 0 ∑ ∞ x ’ ! λ x ’ e − λ = λ ∵ パラメータ λ のポアソン分布の総和は 1 分散
E [ X 2 ] = ∑ x = 0 ∞ x 2 λ x e − λ x ! = ∑ x = 0 ∞ ( x ( x – 1 ) + x ) λ x e − λ x ! = ∑ x = 0 ∞ x ( x – 1 ) λ x e − λ x ! + ∑ x = 0 ∞ x λ x e − λ x !
\begin{aligned}
E[X^2]
&= \sum_{x = 0}^\infty x^2 \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \sum_{x = 0}^\infty (x(x – 1) + x) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \sum_{x = 0}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
+ \sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
\end{aligned}
E [ X 2 ] = x = 0 ∑ ∞ x 2 x ! λ x e − λ = x = 0 ∑ ∞ ( x ( x –1 ) + x ) x ! λ x e − λ = x = 0 ∑ ∞ x ( x –1 ) x ! λ x e − λ + x = 0 ∑ ∞ x x ! λ x e − λ 第1項は
∑ x = 0 ∞ x ( x – 1 ) λ x e − λ x ! = ∑ x = 2 ∞ x ( x – 1 ) λ x e − λ x ! ∵ 第 0 項 , 第 1 項は 0 = λ 2 ∑ x = 0 ∞ λ x – 2 e − λ ( x – 2 ) !
\begin{aligned}
\sum_{x = 0}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
&= \sum_{x = 2}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
\quad \because 第0項, 第1項は0 \\
&= \lambda^2 \sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^{x – 2} e^{-\lambda}}{(x – 2)!}
\end{aligned}
x = 0 ∑ ∞ x ( x –1 ) x ! λ x e − λ = x = 2 ∑ ∞ x ( x –1 ) x ! λ x e − λ ∵ 第 0 項 , 第 1 項は 0 = λ 2 x = 0 ∑ ∞ ( x –2 )! λ x –2 e − λ ここで、x ’ = x – 2 x’ = x – 2 x ’ = x –2
λ 2 ∑ x ’ = 0 ∞ λ x ’ e − λ x ’ ! = λ 2 ∵ パラメータ λ のポアソン分布の総和は 1
\begin{aligned}
\lambda^2 \sum_{x’ = 0}^\infty \frac{\lambda^{x’} e^{-\lambda}}{x’!}
= \lambda^2 \quad \because パラメータ \lambda のポアソン分布の総和は1 \\
\end{aligned}
λ 2 x ’ = 0 ∑ ∞ x ’ ! λ x ’ e − λ = λ 2 ∵ パラメータ λ のポアソン分布の総和は 1 第2項はパラメータ λ \lambda λ
∑ x = 0 ∞ x λ x e − λ x ! = λ
\sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = \lambda
x = 0 ∑ ∞ x x ! λ x e − λ = λ したがって、
E [ X 2 ] = λ 2 – λ = λ ( λ – 1 )
E[X^2] = \lambda^2 – \lambda = \lambda(\lambda – 1)
E [ X 2 ] = λ 2 – λ = λ ( λ –1 ) よって、分散は
V a r [ X ] = E [ X 2 ] – ( E [ X ] ) 2 = λ ( 1 – λ ) – λ 2 = λ
Var[X] = E[X^2] – (E[X])^2 = \lambda(1 – \lambda) – \lambda^2 = \lambda
Va r [ X ] = E [ X 2 ] – ( E [ X ] ) 2 = λ ( 1– λ ) – λ 2 = λ 標準偏差
S t d [ X ] = V a r [ X ] = λ
Std[X] = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{\lambda}
St d [ X ] = Va r [ X ] = λ 積率母関数
m X ( t ) = E [ e X t ] = ∑ x = 0 ∞ e t x λ x e − λ x ! = e − λ ∑ x = 0 ∞ ( λ e t ) x x !
\begin{aligned}
m_X(t)
&= E[e^{Xt}] \\
&= \sum_{x = 0}^\infty e^{tx} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \\
\end{aligned}
m X ( t ) = E [ e Xt ] = x = 0 ∑ ∞ e t x x ! λ x e − λ = e − λ x = 0 ∑ ∞ x ! ( λ e t ) x e λ e t e^{\lambda e^t} e λ e t
e λ e t = ∑ x = 0 ∞ ( λ e t ) x x !
e^{\lambda e^t} = \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}
e λ e t = x = 0 ∑ ∞ x ! ( λ e t ) x なので、
e − λ ∑ x = 0 ∞ ( λ e t ) x x ! = e − λ e λ e t = e λ ( e t – 1 )
e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}
= e^{-\lambda} e^{\lambda e^t}
= e^{\lambda (e^t – 1)}
e − λ x = 0 ∑ ∞ x ! ( λ e t ) x = e − λ e λ e t = e λ ( e t –1 ) scipy.stats のポアソン分布
scipy.stats.poisson でポアソン分布に従う確率変数を作成できます。
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