目次
概要
離散確率分布の1つであるポアソン分布 (poisson distribution) について解説します。
確率関数
確率変数 $X$ が次のような確率関数をもつとき、$X$ はパラメータ $\lambda$ のポアソン分布 (poisson distribution) に従うという。
$$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} & x = 0, 1, \cdots \\ 0 & その他の場合 \end{cases} $$ただし、$\lambda > 0$ とする。
確率関数である
$e^\lambda$ のマクローリン展開を求めると、
$$ e^\lambda = \sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^x}{x!} $$よって、
$$ \sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = e^{-\lambda} e^\lambda = 1 $$期待値
$$ \begin{aligned} E[X] &= \sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ &= \sum_{x = 1}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \quad \because 第0項は0 \\ &= \lambda \sum_{x = 1}^\infty \frac{\lambda^{x – 1} e^{-\lambda}}{(x – 1)!} \end{aligned} $$ここで、$x’ = x – 1$ とおくと、
$$ \begin{aligned} E[X] &= \lambda \sum_{x’ = 0}^\infty \frac{\lambda^{x’} e^{-\lambda}}{x’!} \\ &= \lambda \quad \because パラメータ \lambda のポアソン分布の総和は1 \end{aligned} $$分散
$$ \begin{aligned} E[X^2] &= \sum_{x = 0}^\infty x^2 \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ &= \sum_{x = 0}^\infty (x(x – 1) + x) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ &= \sum_{x = 0}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} + \sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ \end{aligned} $$第1項は
$$ \begin{aligned} \sum_{x = 0}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} &= \sum_{x = 2}^\infty x(x – 1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \quad \because 第0項, 第1項は0 \\ &= \lambda^2 \sum_{x = 0}^\infty \frac{\lambda^{x – 2} e^{-\lambda}}{(x – 2)!} \end{aligned} $$ここで、$x’ = x – 2$ とおくと、
$$ \begin{aligned} \lambda^2 \sum_{x’ = 0}^\infty \frac{\lambda^{x’} e^{-\lambda}}{x’!} = \lambda^2 \quad \because パラメータ \lambda のポアソン分布の総和は1 \\ \end{aligned} $$第2項はパラメータ $\lambda$ のポアソン分布の平均なので、
$$ \sum_{x = 0}^\infty x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = \lambda $$したがって、
$$ E[X^2] = \lambda^2 – \lambda = \lambda(\lambda – 1) $$よって、分散は
$$ Var[X] = E[X^2] – (E[X])^2 = \lambda(1 – \lambda) – \lambda^2 = \lambda $$標準偏差
$$ Std[X] = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{\lambda} $$積率母関数
$$ \begin{aligned} m_X(t) &= E[e^{Xt}] \\ &= \sum_{x = 0}^\infty e^{tx} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ &= e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \\ \end{aligned} $$$e^{\lambda e^t}$ のマクローリン展開を求めると、
$$ e^{\lambda e^t} = \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} $$なので、
$$ e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} = e^{\lambda (e^t – 1)} $$scipy.stats のポアソン分布
scipy.stats.poisson でポアソン分布に従う確率変数を作成できます。
In [1]:
import numpy as np
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
sns.set(style="white")
X = poisson(mu=4.0)サンプリング
In [2]:
x = X.rvs(size=5)
print(x)[5 1 3 4 4]
確率質量関数
In [3]:
x = np.arange(0, 21)
y = X.pmf(x)
fig, ax = plt.subplots()
ax.stem(x, y, use_line_collection=True)
ax.grid()
plt.show()
累積分布関数
In [4]:
x = np.arange(0, 21)
y = X.cdf(x)
fig, ax = plt.subplots()
ax.step(x, y, label="cdf")
ax.grid()
plt.show()
統計量
In [5]:
print("mean", X.mean())
print("var", X.var())
print("std", X.std())mean 4.0 var 4.0 std 2.0
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