麻雀における期待値の計算方法

麻雀における期待値の計算方法

概要

麻雀における手牌の期待値の計算方法について考察します。

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何切る問題

何切る問題とは、麻雀で手牌が14枚の場合にどの牌を切るべきかを問う問題です。以下では、問題を簡単にするために、他プレイヤーは考慮せず、終局または和了まで打牌と自摸を繰り返す「一人麻雀」を対象とします。この場合、点数を重視したい場合は和了時の点数期待値が最大化する打牌を、トップでオーラスの場合は和了確率を最大化する打牌を選択するのがよいでしょう。実戦では、点棒、牌の危険度、場に出てる牌の枚数など多くの情報を元に総合的に判断する必要がありため、一人麻雀における最善手が必ずしも実戦での最善手とはなりません。ですが、「一人麻雀」において牌効率を高くする打ち筋を身につけることは、点数を得られる機会を増やすことに繋がるため、麻雀を上達する上で重要な技術要素の1つであると考えられます。

受け入れ枚数と期待値

何切る問題を考える際は受け入れ枚数を考える場合が多いと思いますが、受け入れ枚数が最大の打牌を選択することは1向聴下げる確率を最大化することであり、点数を得るという最終的な目的を考えた場合に、必ずしも最善手とは限りません。一気通貫や全帯幺などの役を狙い、点数を得るためには受け入れ枚数が少ない打牌を選択したほうがよいこともあります。そこで、期待値や和了確率という考え方を取り入れることにより、何切る問題に対してより幅広い視点で考察することができるようになります。

麻雀何切るシミュレーター

以下で麻雀における期待値の計算方法について解説しますが、1向聴以上では膨大なパターンを考える必要が出てくるため、手計算で求めるのは現実的ではありません。そのため、期待値などを自動で計算するアプリ「麻雀何切るシミュレーター」を用意しました。

麻雀何切るシミュレーター は、各打牌の受け入れ枚数、点数期待値、和了確率、聴牌確率を計算します。何切る問題を検討する際にもしよかったらご利用ください。

麻雀何切るシミュレーター

一人麻雀

一人麻雀の定義は、あらさんが公開されている牌効率練習ソフト 一人麻雀練習機 から引用させていただいています。以下に詳細を記載しますが、簡単に言うと、終局または和了まで自摸と打牌を繰り返す麻雀のことです。これから考える期待値については、この一人麻雀の設定を元に計算します。

  • 他家は考慮しません。
  • 自摸数は最大17回です。 4人麻雀の場合、東家、南家は18回、西家と北家は17回自摸れるので、最初13枚の手牌から18回自摸れるものとします。 何切る問題を考える際は手牌が14枚になっているので、1巡目の場合はすでに1回自摸を行っているため、最大であと17回自摸が行えます。
  • 副露 (ポン、チー、暗槓、明槓、加槓) は考慮しません。ただし、何切るを考える時点で、副露している手牌は設定可能です。
  • 積み棒、不聴罰符は考慮しません。立直棒は考慮します。
  • 東家の場合は親、それ以外の場合は子として点数計算します。
  • 何切るを考える時点で、赤牌が手牌に含まれる場合は考慮しますが、赤牌の自摸は考慮しません。
  • ドラ、槓ドラは考慮します。
  • ダブル立直、一発、海底撈月は考慮します。
  • 裏ドラは考慮します。※1
  • 向聴戻し、手変わりは考慮します。※2
  • 立直は必ずします。つまり、和了役として立直、門前清自摸和が必ずつきます。

  • ※1: 槓ドラがある場合、裏ドラが乗る期待値を厳密に計算することは計算量が多くなってしまうため、平和系での裏ドラが乗る枚数に関する統計データを元に計算します。
  • ※2: 計算量の観点で、現在の向聴数 + 2枚までの牌交換という条件で探索します。例えば、今2向聴数の場合、最短で3枚交換すると和了れます。そのため、+1 枚余分に交換できるものとして、向聴戻しや手変わりは和了までのいずれかのタイミングで1回のみ考慮することになります。また、和了を逃して向聴戻しすることは考慮しません。(安目を引いてしまった場合に和了逃しするなど)
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点数期待値

何切る問題の点数期待値の考え方について解説します。

聴牌している手牌の期待値

例として、聴牌している「手牌: 222567m345p33667s 場風牌: 東, 自風牌: 東, 1巡目, ドラ: 南」について考えます。向聴戻しや手変わりを考えない場合、ここから手牌が遷移できるパターンとして以下が考えられます。

聴牌時の期待値

打 6s の期待値

打牌後の手牌は「222567m345p3367s」となり、受け入れ枚数は 5s が4枚、8s が4枚の合計8枚です。5s、8s 自摸のどちらの場合も点数は立直、門前清自摸和、断么九で親の30符3翻で $6000$ 点です。

まず、2巡目 ~ 18巡目に 5s を自摸る確率をそれぞれ計算します。

  • 2巡目に 5s を引く確率は、場にまだ見えていない牌は手牌の14枚とドラ表示牌1枚を除いた $136 – 14 – 1 = 121$ 枚で、5s は4枚残っているので、$\frac{4}{121}$ です。
  • 3巡目に 5s を引く確率は、「2巡目までに有効牌 5s または 8s 以外の牌を引いた確率 $\frac{121 – 8}{121}$」と「3巡目に 5s を引く確率 $\frac{4}{120}$」を乗算して計算します。1巡ごとに場に見えてる牌が1枚減っていくことに注意してください。
  • 4巡目に 5s を引く確率は、同様に「3巡目までに有効牌 5s または 8s 以外の牌を引いた確率 $\frac{121 – 8}{121} \times \frac{120 – 8}{120}$」と「4巡目に 5s を引く確率 $\frac{4}{119}$」を乗算して計算します。

よって期待値はそれぞれの巡目に 5s を引く確率に $6000$ 点を乗算して、総和をとった $2141.18$ 点が 5s の期待値になります。

5s の期待値

同様に 8s 自摸の場合も、同じく 8s は4枚残っており、点数も $6000$ 点で変わらないので、$2141.18$ 点になります。 したがって、打 6s の場合の期待値は $2141.18 + 2141.18 = 4282.36$ 点です。

打 7s の期待値

打牌後の手牌は「222567m345p3366s」となり、受け入れ枚数は 3s が2枚、6s が2枚の合計4枚です。3s、6s 自摸のどちらの場合も点数は立直、門前清自摸和、断么九で親の30符3翻で $6000$ 点です。打 6s の場合と同じ方法で計算すると、打 7s の場合の期待値は $1376.26 + 1376.26 = 2752.52$ 点です。

3s の期待値

まとめ

それぞれの打牌の期待値は以下のようになりました。

  • 打 6s: $4282.36$ 点 受け入れ枚数8枚
  • 打 7s: $2752.52$ 点 受け入れ枚数4枚

どちらも和了の点数は同じ6000点なので、受け入れ枚数が多くなる両面待ちをとったほうが期待値が高くなるというのは自然な結果です。

1向聴の手牌の期待値

例として、「手牌: 222567m34p33667s北 場風牌: 東, 自風牌: 東, 1巡目, ドラ: 南」について考えます。向聴戻しや手変わりを考えない場合、ここから手牌が遷移できるパターンとして以下が考えられます。(全パターンを和了まで描画するには余白が足りないので、一部のみを描画しました。)

1向聴の期待値

打 7s の場合の自摸 2p の期待値を計算する部分について考えます。 先程と異なるのは、得点の部分が遷移後の手牌の期待値に置き換わる点です。 例えば、3巡目に 2p を引いた場合 (下記画像の赤丸) の期待値を計算するには、「3巡目に 2p を引く確率」に「3巡目時点で 22256m234p3366s北 である場合の期待値」を乗算します。 18巡目に 2p を引いて聴牌してもそこで終局なので、「18巡目時点で 22256m234p3366s北 である場合の期待値」は0になることに注意してください。 よって期待値はそれぞれの巡目に 2p を引く確率に「その巡目で 22256m234p3366s北 である場合の期待値」を乗算して、総和をとった $523.95$ 点が 2p 自摸の期待値になります。

2p の期待値

同様に 5p、3s、6s についても計算すると、

  • 2p 自摸: $523.95$ 点
  • 5p 自摸: $523.95$ 点
  • 3s 自摸: $436.57$ 点
  • 6s 自摸: $436.57$ 点

となり、これの和をとった $1921.04$ 点が打 7s の場合の期待値ということになります。

今回は聴牌時の選択が北の1通りでしたが、通常、一向聴以上の手牌の場合、和了までに複数の打牌の中から選択する機会が生じます。その場合、期待値を最大化する場合は、打牌候補の中から期待値が最大になる打牌を選択するものとします。同様に、和了確率を最大化する場合は、打牌候補の中から和了確率が最大になる打牌を選択するものとします。

まとめ

それぞれの打牌の期待値は以下のようになりました。

  • 打 6s: $3009.80$ 点 受け入れ枚数16枚
  • 打 7s: $1921.80$ 点 受け入れ枚数12枚
  • 打 北: $3282.00$ 点 受け入れ枚数20枚

最終的な和了の点数はすべて6000点なので、受け入れ枚数が多くなる北を捨てるほうが期待値が高くなる結果となりました。

参考資料