統計学 – 正規分布

概要

連続確率分布の1つである正規分布について解説します。

確率密度関数

確率変数 $X$ が次のような確率密度関数をもつとき、$X$ はパラメータ $\mu, \sigma^2$ の正規分布 (normal distribution) またはガウス分布 (Gaussian distribution) に従うという。 確率変数 $X$ がパラメータ $\mu, \sigma^2$ の正規分布に従うとき、$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ と表す。

確率密度関数の要件を満たしている

• ガウス積分 $\int_{\infty}^\infty e^{-u^2} = \sqrt{\pi}$

累積確率関数

• ガウス積分 $\int_{\infty}^0 e^{-u^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

期待値

• ガウス積分 $\int_{\infty}^\infty e^{-t^2} = \sqrt{\pi}$
• $\int_{\infty}^\infty t e^{-t^2} = 0$
• Expectation of Gaussian Distribution – ProofWiki

分散

• ガウス積分 $\int_{\infty}^\infty e^{-t^2} = \sqrt{\pi}$
• $\int_{\infty}^\infty t e^{-t^2} = 0$
• $\int_{\infty}^\infty t^2 e^{-t^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
• Variance of Gaussian Distribution – ProofWiki

よって、分散は

標準偏差

積率母関数

正規分布のk次の中心積率

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき、

例:

証明:

積率母関数の定義より、

他方、$X – \mu \sim N(0, \sigma^2)$ であるから、正規分布の積率母関数に当てはめると、

両者の式の係数を比較すると、

$k$ が奇数のとき、$E[(X – \mu)^k] = 0$
$k$ が偶数のとき、(1) における $k = 2n$ としたときの $t^{2n}$ の係数 $\frac{E[(X – \mu)^{2n}]}{2n!}$ と、(2) における $t^{2n}$ の係数 $\frac{\sigma^{2n}}{2^n n!}$ が同じなので、

$2^n n! = 2n \cdot 2 (n – 1) \cdots (2 \cdot 1) = 2n \cdot (2n – 2) \cdot 2$ に注意すると、

scipy.stats の正規分布

scipy.stats.norm で正規分布に従う確率変数を作成できます。

import numpy as np
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import norm

sns.set(style="white")

X = norm()

サンプリング

x = X.rvs(size=5)
print(x)

[ 0.49353417  1.45683727 -2.78100417 -0.28630157 -0.79504348]

確率密度関数

In [3]:

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = X.pdf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.grid()

plt.show()

累積分布関数

In [4]:

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = X.cdf(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.grid()

plt.show()

統計量

print("mean", X.mean())
print("var", X.var())
print("std", X.std())

mean 0.0
var 1.0
std 1.0